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三角网平差界面程序设计

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总体要求

利用C++语言和Qt界面库编写导线网间接平差程序。导线网如下图所示，其中A、B为已知点，CD为基线边，又已知BE的方位角，已知角度测量中误差，距离误差加常数5mm，距离误差乘常数5mm/Km。起算数据见表1，观测了全部角度值，列于表2 。求各待定点坐标的平差值。

1

点号 坐标 边长/m 方位角 至何点
X Y S α\alpha
B 2802234.190 19437826.220 249°22′10.17′′249^°22'10.17'' E
C 6523.643 D
A 2794005.704 19433831.115
角号 观测值 角号 观测值 角号 观测值
1 54 49 29.57 7 77 14 59.04 13 56 31 36.21
2 43 28 18.22 8 46 18 21.93 14 67 51 49.11
3 81 42 11.62 9 56 26 38.83 15 55 36 35.70
4 48 19 00.60 10 52 27 11.49 16 64 22 06.49
5 85 31 37.21 11 60 48 47.61 17 62 16 36.29
6 46 09 20.35 12 66 43 59.30 18 53 21 14.20

准备工作

  • 方法选择：
    • 考虑到程序的自动化和通用性，因此采用间接平差法，由于有多余的已知条件，所以最终选择附有限制条件的间接平差法。
    • 平差方法具体推导见：附有限制条件间接平差

  • 预备知识：
    1. 由题意可知，总观测值为18，必要观测值为8（原本是10个必要观测者，但是由于DC是已知边，BE是已知方位角，所以最后只有8个必要观测值），因此设定10个参数（18个观测角方程，两个条件方程），即C,D,E,F,G点的坐标值为参数值。
    2. 根据前方交会知识，可由已知的两坐标A,B求出待定点E的估计坐标值，之后再由B,E坐标求出C点的估计值，以此类推求出D和F的坐标估计值（以最短边原则计算各个参数的估计值，即E点由A,B求出，C点由B,E求出，D由C,E求出，F由G,E求出，G点由A,E求出）。
    3. 由参数值的估计值求出两点间的方位角，由两方位角求出夹角并列出误差方程系数阵，由于方程不是线性形式，因此需要用泰勒级数展开至一次项线性化。
    4. 由已知方位角和已知边列出两个条件方程，即SDC0+δDC0−SDC=0S_{DC}^0+\delta_{DC}^0-S_{DC}=0和αBE0+δBE(α)−α=0\alpha_{BE}^0+\delta_{BE}(\alpha)-\alpha=0列出条件方程，当然方程不会是线性形式，因此需要用泰勒级数展开取至一次项线性化。
    5. 由观测值和估值相减求出参数的常数项，由求出的近似值作为条件方程的常数项。
    6. 由x=(NBB−1−NBB−1CTNCC−1CNBB−1)W+NBB−1CTNCC−1Wxx=(N_{BB}^{-1}-N_{BB}^{-1}C^TN_{CC}^{-1}CN_{BB}^{-1})W+N_{BB}^{-1}C^TN_{CC}^{-1}W_x求出参数的改正数，其中(W=BTPl,NBB=BTPB,NCC=CNBB−1CTW=B^TPl,N_{BB}=B^TPB,N_{CC}=CN_{BB}^{-1}C^T)
    7. 由X=X0+xX=X^0+x求出参数平差值
    8. 由v=Bx−lv=Bx-l求出观测值改正数
    9. 由L=L0+vL=L^0+v求出观测值平差值
    10. 因为各个观测值独立，所以由δ0=VTPVr=[PVV]r=[PVV]n−u+s\delta_0=\sqrt{\frac{V^TPV}{r}}=\sqrt{\frac{[PVV]}{r}}=\sqrt{\frac{[PVV]}{n-u+s}}（其中r为多余观测数，u-s=t为必要的独立参数的个数）求出单位权方差，Qxx=NBB−1−NBB−1CTNCC−1CNBB−1Q_{xx}=N_{BB}^{-1}-N_{BB}^{-1}C^TN_{CC}^{-1}CN_{BB}^{-1}求出协因数阵的出参数的协因数，其主对角线为各个参数的权倒数，因此可求出各个参数的中误差，再由δpi=δxi2+δyi2\delta_{pi}=\sqrt{\delta_{xi}^2+\delta_{yi}^2}求出各个点位中误差。

  • 编写数据格式：
    • 第一行：总点数，已知点数，已知边数，已知方位角数，观测角数
    • 第二行：所有点名称
    • 第三部分：已知点信息（点号，坐标）
    • 第四部分：已知边信息
    • 第五部分：已知方位角信息
    • 第六部分：观测值信息（观测值编号，起始点，中间点，终点）

  • 公式
    1. 前方交会公式（推导见：前方交会）：

    xp=xAsinAcosB+xBcosAsinB+(yA−yB)sinAsinBsinAcosB+cosAsinByp=yAsinAcosB+yBcosAsinB+(xB−xA)sinAsinBsinAcosB+cosAsinBx_p=\frac{x_AsinAcosB+x_BcosAsinB+(y_A-y_B)sinAsinB}{sinAcosB+cosAsinB} \newline y_p=\frac{y_AsinAcosB+y_BcosAsinB+(x_B-x_A)sinAsinB}{sinAcosB+cosAsinB}

  • 编写库函数：
    • 矩阵库：由于平差计算中大量用到矩阵运算，因此提前编写矩阵库（代码详见：Matrix）会给编程带来方便
    • 角度库：由于C++中的三角函数都是以弧度为单位，但平差中的角度大多以工程角度给出，因此编写一个角度库（代码详见：angleBase）显得尤为必要。

思维导图

成果截图

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